最全的向量、矩阵求导公式

　　因为经常会用到对向量、矩阵的求导。如下面是一些常用的求导公式：

　　Y = A * X --> DY/DX = A'
　　Y = X * A --> DY/DX = A
　　Y = A' * X * B --> DY/DX = A * B'
　　Y = A' * X' * B --> DY/DX = B * A'

这些公式虽然常用，但显然并不够用。于是把以前学过的矩阵求导部分整理一下：

 

1. 矩阵Y对标量x求导：

   相当于每个元素求导数后转置一下，注意M×N矩阵求导后变成N×M了

   Y = [y(ij)] --> dY/dx = [dy(ji)/dx]

 

2. 标量y对列向量X求导：

   注意与上面不同，这次括号内是求偏导，不转置，对N×1向量求导后还是N×1向量

   y = f(x1,x2,..,xn) --> dy/dX = (Dy/Dx1,Dy/Dx2,..,Dy/Dxn)'

 

3. 行向量Y'对列向量X求导：

   注意1×M向量对N×1向量求导后是N×M矩阵。

   将Y的每一列对X求偏导，将各列构成一个矩阵。

   重要结论：

   dX'/dX = I

   d(AX)'/dX = A'

 

4. 列向量Y对行向量X’求导：

   转化为行向量Y’对列向量X的导数，然后转置。

   注意M×1向量对1×N向量求导结果为M×N矩阵。

   dY/dX' = (dY'/dX)'

 

5. 向量积对列向量X求导运算法则：

   注意与标量求导有点不同。

   d(UV')/dX = (dU/dX)V' + U(dV'/dX)

   d(U'V)/dX = (dU'/dX)V + (dV'/dX)U'

   重要结论：

   d(X'A)/dX = (dX'/dX)A + (dA/dX)X' = IA + 0X' = A

   d(AX)/dX' = (d(X'A')/dX)' = (A')' = A

   d(X'AX)/dX = (dX'/dX)AX + (d(AX)'/dX)X = AX + A'X

 

6. 矩阵Y对列向量X求导：

   将Y对X的每一个分量求偏导，构成一个超向量。

   注意该向量的每一个元素都是一个矩阵。

 

7. 矩阵积对列向量求导法则：

   d(uV)/dX = (du/dX)V + u(dV/dX)

   d(UV)/dX = (dU/dX)V + U(dV/dX)

   重要结论：

   d(X'A)/dX = (dX'/dX)A + X'(dA/dX) = IA + X'0 = A

 

8. 标量y对矩阵X的导数：

   类似标量y对列向量X的导数，

   把y对每个X的元素求偏导，不用转置。

   dy/dX = [ Dy/Dx(ij) ]

   重要结论：

   y = U'XV = ΣΣu(i)x(ij)v(j) 于是 dy/dX = [u(i)v(j)] = UV'

   y = U'X'XU 则 dy/dX = 2XUU'

   y = (XU-V)'(XU-V) 则 dy/dX = d(U'X'XU - 2V'XU + V'V)/dX = 2XUU' - 2VU' + 0 = 2(XU-V)U'

 

9. 矩阵Y对矩阵X的导数：

   将Y的每个元素对X求导，然后排在一起形成超级矩阵。