R技巧[22]：R语言Kolmogorov-Smirnov检验

Kolmogorov-Smirnov正态性检验
Kolmogorov-Smirnov是比较一个频率分布f(x)与理论分布g(x)或者两个观测值分布的检验方法。其原假设H0:两个数据分布一致或者数据符合理论分布。
D=max| f(x)- g(x)|，当实际观测值D>D(n,α)则拒绝H0，否则则接受H0假设。
R语言中的 Kolmogorov-Smirnov 检验
ks.test(x, y, ...,
        alternative = c("two.sided", "less", "greater"),
            exact = NULL)
R语言中ks.test有四个参数，第一个参数x为观测值向量，第二个参数y为第二观测值向量或者累计分布函数或者一个真正的累积分布函数如pnorm，只对连续CDF有效。第三个参数为指明是单侧检验还是双侧检验，exact参数为NULL或者一个逻辑值，表明是否需要计算精确的P值。

> ks.test(rnorm(100),rnorm(50))
 
        Two-sample Kolmogorov-Smirnov test
 
data:  rnorm(100) and rnorm(50)
D = 0.16, p-value = 0.3503
alternative hypothesis: two-sided
 
> ks.test(rnorm(100),"pnorm")
 
        One-sample Kolmogorov-Smirnov test
 
data:  rnorm(100)
D = 0.0851, p-value = 0.4631
alternative hypothesis: two-sided
在上述第一个命令中，我们比较了两个均值和方差一样的观测值，他们D值很小，p值大于0.05，所以我们不能拒绝两个观测值分布相同的假设；在第二个命令中，我们比较了一个正态分布观测值和一个正态分布函数，D值很小，且p值大于0.05，不能拒绝其分布一致的假设。
> ks.test(rnorm(100),"punif")
 
        One-sample Kolmogorov-Smirnov test
 
data:  rnorm(100)
D = 0.5, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: two-sided
在上述例子中，我们比较了一个正态分布数据和均一分布函数，p值小于0.05，我们可以拒绝原假设，二者分布不相同。
 

 

分布检验方法比较

²  图示法相对于其他方法而言，比较直观，方法简单，从图中可以直接判断，无需计算，但这种方法效率不是很高，它所提供的信息只是正态性检验的重要补充。

²  经常使用的拟合优度检验和Kolmogorov-Smirnov检验的检验功效较低，在许多计算机软件的Kolmogorov-Smirnov检验无论是大小样本都用大样本近似的公式，很不精准，一般使用Shapiro-Wilk检验和Lilliefor检验。

²  Kolmogorov-Smirnov检验只能检验是否一个样本来自于一个已知样本，而Lilliefor检验可以检验是否来自未知总体。

²  Shapiro-Wilk检验和Lilliefor检验都是进行大小排序后得到的，所以易受异常值的影响。

²  Shapiro-Wilk检验只适用于小样本场合（3≤n≤50）,其他方法的检验功效一般随样本容量的增大而增大。

²  拟合优度检验和Kolmogorov-Smirnov检验都采用实际频数和期望频数进行检验，前者既可用于连续总体，又可用于离散总体，而Kolmogorov-Smirnov检验只适用于连续和定量数据。

²  拟合优度检验的检验结果依赖于分组，而其他方法的检验结果与区间划分无关。

²  偏度和峰度检验易受异常值的影响，检验功效就会降低。

²  假设检验的目的是拒绝原假设，当p值不是很大时，应根据数据背景再作讨论。